Wolfgang Lenzen
Die moderne Modallogik (auch als intensionale Logik bezeichnet) verzweigt sich in die Logik alethischer, epistemischer, deontischer, etc. Modalitäten. Auch Zeitlogik lässt sich darunter subsumieren. In diesem Kurs wird vor allem die alethische Modallogik entwickelt, nur am Rande werden auch die Grundzüge der epistemischen Logik umrissen.
1.1 Intuitive Einführung
Die alethische Modallogik (wie auch jede andere Form der philosophischen Logik) wird im Allgemeinen als eine Erweiterung der „normalen“ Aussagen- oder Prädikatenlogik konzipiert. Im alethischen Fall werden als syntaktische Grundelemente folgende neue Operatoren eingeführt.
N(p) := ‚es ist notwendig, dass p’
M(p) := ‚es ist möglich, dass p’.
In anderen Textbüchern findet man folgende Symbolik:
(p) für N(p)
à(p) für M(p);
alternativ (so z.B. im Buch von Hughes/Cresswell) bei Beibehaltung von M(p):
L(p) für N(p).
Ich verwende weiterhin die Abkürzungen
U(p) := ØM(p) (es ist unmöglich, dass p)
sowie
K(p) := ØN(p) (es ist nicht-notwendig bzw. kontingent, dass p).
Dieser Begriff der Kontingenz lehnt sich an Aristoteles an. In neuerer Zeit hat sich die alternative Auffassung durchgesetzt, von kontingenten Aussagen nur dann zu sprechen, wenn sie (a) nicht notwendig aber auch (b) nicht unmöglich sind, d.h. zu definieren:
K*(p) := ØN(p) Ù ØU(p) bzw.
K*(p) := M(p) Ù M(Øp).
Klammern hinter den Modaloperatoren werden nach Möglichkeit weggelassen; so schreiben wir im folgenden stets einfach Np, Mp, Up, und Kp; ferner können wir durch Np Ù q auszudrücken, dass p notwendig ist und außerdem q wahr ist. Um symbolisch darzustellen, dass die Konjunktion von p und q notwendig ist, benötigt man jedoch Klammern der Art: N(pÙq).
Die Grundoperatoren N und M sind durch das folgende, in zwei Varianten formulierte Gesetz miteinander verbunden, mit dem man wahlweise den einen Operator durch den anderen definieren könnte:
(Def. N) Np = ØMØp
(Def. M) Mp = ØNØp.
Weitere wichtige modallogische Operatoren bzw. Funktoren sind die strikte Implikation bzw. die strikte Äquivalenz:
(p ® q) := ØM(pÙØq) bzw. (p ® q) := N(pÉq)
(p « q) := (p ® q) Ù (q ® p) bzw. (p « q) := N(pºq).
Ferner die Relation der Unverträglichkeit („incompatibility“) zweier Aussagen p und q:
IC(p,q) := ØM(pÙq).
Die genaue inhaltliche Deutung der Operatoren N und M spielt logisch keine große Rolle. Insbesondere könnte man Np interpretieren als:
1.2 Grundzüge der
modallogischen Semantik
Der grobe Grundgedanke einer logischen Semantik für die Modaloperatoren ‚M’ und ‚N’ wurde zuerst von G. W. Leibniz (1646 – 1716) entwickelt, der betonte, dass die notwendigen Aussagen in allen möglichen Welten wahr sind, die unmöglichen Aussagen entsprechend in keiner einzigen möglichen Welt wahr sind, während eine kontingente Aussage jeweils nur in der tatsächlichen Welt wahr (im folgenden angekürzt durch t (true)) bzw. falsch (im folgenden kurz ‚f’) ist, in einer anderen möglichen Welt hingegen einen anderen Wahrheitswert besitzen kann.
Geht man aus von einem nichtleeren Grundbereich W aller möglichen Welten, zu der insbesondere die reale Welt w* gehört, und relativiert man die aus der „normalen“ Logik bekannte Interpretationsfunktion V auf jeweils eine Welt wÎW, d.h. steht
V(p,w) = t für ‚die Aussage p ist bei der Interpretation V wahr in der Welt w’
so läge es nahe, den Leibnischen Gedanken wie folgt zu formalisieren:
(*) V(Np) = t genau dann, wenn (im folgenden abgekürzt durch ‚gdw.’) für alle wÎW gilt: V(p,w) = t.
Angesichts von Def. M ergäbe sich für Möglichkeitsaussagen entsprechend folgende Interpretationsbedingung:
V(Mp) = t gdw. für mindestens ein wÎW gilt: V(p,w) = t.
Denn wegen Mp = ØNØp gilt V(Mp) = t gdw. V(ØNØp) = t gdw. V(NØp) = f gdw. es ist nicht der Fall, dass für alle wÎW gilt: V(Øp,w) = f; das bedeutet aufgrund elementarer quantorenlogischer Gesetze, dass es mindestens ein wÎW geben muss, so dass V(Øp,w) ¹ f, also V(p,w) = t ist.
Dieser vorläufige Ansatz einer modallogischen Semantik muss jedoch in einigen Punkten modifiziert werden. Um z.B. Sätze der Art (Np É p) oder (p É Np) bewerten zu können, müssen nicht nur die Wahrheitswerte der „einfachen“ Aussagen p, sondern auch jene der Modalaussagen Np, Mp, usw. auf die jeweiligen Welten wÎW relativiert werden. Gemäß dem Grundgedanken der Leibnischen Semantik wäre daran zu denken, dies einfach durch die folgende Bedingung zu realisieren:
(**) V(w,Np) = t gdw. für alle w¢ÎW gilt: V(w¢,p) = t.
Ob nun eine Notwendigkeits- (und analog natürlich auch eine Möglichkeits-)Aussage in der Welt w wahr ist, würde gemäß (**) gar nicht wirklich von der jeweiligen Welt w abhängen, d.h. mit V(w1,Np) = t würde zugleich für jede andere Welt w2 gelten V(w2,Np) = t. Dies hätte u.a. zur Folge, dass jede Modalaussage wie z.B. Np, Mq, ØNr, ..., die in irgendeiner Welt w1 wahr wird, in jeder Welt w2 wahr sein muss, also selber mit Notwendigkeit gilt. Alle Formeln der Art (Np É NNp), (Mq É NMq), (ØNr É NØNr), usw. wären somit zwangsläufig modallogisch gültig.
Eine solche Konsequenz ist zwar nicht absolut unerwünscht oder gar logisch unhaltbar; sie erscheint jedoch in manchen Kontexten sachlich inadäquat. Deshalb ist man in der modernen Semantik dazu übergegangen, den Leibnizschen Gedanken wie folgt zu verändern. Anstatt gemäß (**) zu verlangen, dass die Interpretation V der Aussage Np in der Welt w den Wert wahr genau dann zuordnet, wenn die Aussage p in allen Welten w¢ÎW wahr ist, wird eingeschränkt nur verlangt, dass p in all jenen Welten w* wahr ist, die von der Ausgangswelt w aus betrachtet möglich bzw. „zugänglich“ sind. Im Anschluss an Saul Kripke führt man also – technisch gesprochen – auf der Menge der jeweils zugrundegelegten Welten W eine sog. Zugänglichkeitsrelation R („relation of accessibility“) ein:
wRw¢ symbolisiert dabei, dass von w aus gesehen w¢ zugänglich ist
und man ersetzt daraufhin (**) durch die liberalere Bedingung
(***) V(w1,Np) = t gdw. für alle w2ÎW, für die gilt w1Rw2, ist V(w2,p) = t.
Etwas ausführlicher wäre die sog. Kripke-Semantik der Modallogik wie folgt zu konstruieren. Man geht aus von einer nichtleeren Menge von möglichen Welten, W, sowie von einer Zugänglichkeitsrelation R über W, d.h., „technisch“ gesprochen: R ist eine Teilmenge des sogenannten Cartesischen Produkts der Menge W mit sich selbst: R Í W´W; mit anderen Worten: R ist eine Menge von geordneten Paaren <w1,w2> von Elementen aus W. Anstatt der Schreibweise <w1,w2>ÎR benutzen wir jedoch die oben genannte, übliche Symbolik w1Rw2. Das Paar <W,R> nennt man einen „Kripke-frame“, und die zentrale Definition eines „Kripke-model“ bzw. einer modallogischen Interpretation (nach Kripke) lautet dann wie folgt:
(Def.1) Ein Kripke-Modell ist ein Tripel <W,R,V>, wobei gilt:
(a) W ist eine nichtleere Menge von Welten;
(b) R ist eine Relation über W
(c) V ist eine zweistellige Funktion, die jedem Satz a relativ zu jeder Welt wÎW einen Wahrheitswert V(w,a)Î{t,f} zuordnet nach Maßgabe der folgenden Bedingungen:
(1) V(w,Øa) = t gdw. V(w,a) = f;
(2) V(w,aÙb) = t gdw. V(w,a) = V(w,b) = t;
(3) V(w,aÚb)
= f gdw. V(w,a) = V(w,b) = f;
(4) V(w,aÉb) = f gdw. V(w,a) = t aber V(w,b) =f;
(5) V(w,aºb) = t gdw. V(w,a) = V(w,b);
(6) V(w,Na) = t gdw. für alle w¢ mit wRw¢ gilt: V(w¢,a) = t;
(7) V(w,Ma) = t gdw. für mindestens ein w¢ mit wRw¢ ist V(w¢,a) = t.
Die wichtigen Begriffe der (modallogischen) Gültigkeit einer Aussage a (in einem bzw. in allen Kripke-Modellen) wären wie folgt zu definieren:
(Def.2)
a. Eine Aussage a ist gültig in einem Kripke-Modell <W,R,V> gdw. für alle wÎW gilt: V(w,a) = t;
b. Eine Aussage a ist modallogisch gültig gdw. für sämtliche Kripke-Modelle <W,R,V> gilt: für alle wÎW ist V(w,a) = t.
Die verschiedenen, im folgenden zu betrachtenden modallogischen Systeme unterscheiden sich auf semantischer Ebene einzig dadurch, dass für die jeweilige Zugänglichkeitsrelation R spezielle Forderungen erhoben werden, wodurch eine jeweils andere Menge von modallogisch gültigen Sätzen resultiert. Als erstes ist der Basiskalkül K zu untersuchen, bei dem R keine Zusatzbedingung erfüllen muss.
1.3 Der Basiskalkül K
Der (nach Saul Kripke benannte) Basiskalkül K lässt sich axiomatisch charakterisieren als Erweiterung der normalen Aussagenlogik um das folgende Axiom
N1 N(pÉq) É (Np É Nq)
sowie die nachstehende Deduktionsregel („rule of necessitation“ bzw. Notwendigkeitsregel):
RN p ½¾ Np.
Zunächst ist (durch einen indirekten Beweis) zu zeigen, dass N1 allgemeingültig ist. Gäbe es ein Kripke-Modell <W,R,V> und eine Welt wÎW so dass V(w,N1) = f, d.h. V(w,N(pÉq) É (Np É Nq)) = f, so hieße dies gemäß Bedingung c(4) von Def. 1:
V(w,N(pÉq)) = t aber V(w,Np É Nq) = f;
dies würde wiederum nach Bedingung c(4) von Def. 1 bedeuten:
V(w,N(pÉq)) = t und V(w,Np) = t aber V(w,Nq) = f.
Aus der Annahme V(w,Nq) = f folgt mit Bedingung c(6) von Def. 1 die Existenz mindestens einer Welt w¢ mit wRw¢ und V(w¢,q) = f.
Andererseits gilt wegen der Voraussetzung V(w,Np) = t in eben dieser Welt w¢: V(w¢,p) = t, also zusammengefasst
V(w¢,p) = t aber V(w¢,q) = f.
Dies steht aber in Widerspruch zu der weiteren Voraussetzung V(w,N(pÉq)) = t, der zufolge (gemäß Bedingung c(6) von Def. 1) in allen von w aus zugänglichen Welten, also insbesondere auch in w¢, gelten müsste: V(w¢,pÉq) = t. Damit ist N1 als allgemeingültig nachgewiesen.
Was die Deduktionsregel RN betrifft, so ist zunächst zu beachten, dass mit ihr nicht behauptet wird, dass aus einer Aussage p stets die Aussage Np logisch folgen würde – ein solches Prinzip wäre ja inhaltlich völlig inadäquat, weil sonst jede wahre Aussage zugleich notwendig wäre, also der Unterschied zwischen „normaler“ Wahrheit und notwendiger Wahrheit völlig aufgehoben würde. Die Regel RN besagt jedoch nur, dass wenn p selber schon als ein Theorem der Modallogik nachgewiesen ist, mit anderen Worten: wenn p beweisbar ist, dann muss auch die Aussage Np beweisbar sein. Die semantische Gültigkeit dieser Regel sieht man dann wie folgt ein.
Ist p modallogisch gültig, d.h. gilt für alle Kripke-Modelle <W,R,V> und für alle wÎW: V(w,p) = t; so ergibt sich a fortiori, dass auch für alle <W,R,V> und für alle wÎW: V(w,Np) = t. Denn gäbe es innerhalb eines Modells <W,R,V> eine Welt wÎW mit V(w,Np) = f, so hieße dies nach Bedingung c(6) von Def. 1, dass eine von w aus zugängliche Welt w¢ existiert mit V(w¢,p) = f. Dies steht aber in direktem Widerspruch zur Voraussetzung der modallogischen Gültigkeit von p selber!
Aufgrund der Allgemeingültigkeit des Axioms N1 und der Regel RN gelten in jedem System der „normalen“ Modallogik die folgenden, abgeleiteten Regeln:
RI (p É q) ½¾ Np É Nq
RE (p
º q) ½¾ Np É Nq.
Wenn immer eine Implikation (p É q) beweisbar ist, folgt also gemäß der Regel der Implikation, RI, dass die Aussage Np entsprechend die Aussage Nq impliziert. Dies ergibt sich aus RN und N1, denn wenn nach Voraussetzung (p É q) beweisbar ist, so ist gemäß RN zunächst N(p É q) beweisbar; wegen des Axioms N1, N(pÉq) É (Np É Nq), lässt sich mittels des aussagenlogischen Schlusses des Modus ponens dann auch (Np É Nq) beweisen.
Die Gültigkeit der abgeschwächten Äquivalenz-Regel RE (in der Literatur häufig als ‚Regel der Substituierbarkeit strikt äquivalenter Aussagen’ bezeichnet) ergibt sich als triviales Korollar von RI, da mit der vorausgesetzten Beweisbarkeit von (p º q), d.h. von (p É q) Ù (q É p), a fortiori (p É q) beweisbar ist.
Weiterhin lässt sich leicht zeigen, dass mit beweisbarem (p É q) auch die Möglichkeitsaussage Mp entsprechend Mq impliziert:
RM (p
É q) ½¾ Mp É Mq
T1 Np
Ù Nq É N(p Ù q)
N2 Np
É p.
Dieses Theorem ist übrigens logisch schwächer als das Axiom N2, d.h. wenn man zum Basissystem K statt N2 lediglich T12 als neues Axiom hinzugenommen hätte, wäre man zu einem anderen modallogischen Kalkül gelangt, der zwar immer noch stärker als K, jedoch schwächer als T ist. Dieser Zwischenkalkül trägt in vielen Lehrbüchern den „Namen“ D (wegen seines Bezugs zu Systemen der deontischen Logik).
Nachweise dieser Behauptungen setzen zunächst eine (adäquate) Semantik für die unterschiedlichen Kalküle voraus. Während das Basissystem K gerade durch die allgemeinen Kripke-Modelle gemäß Def. 1 charakterisiert wird, sind die Semantiken stärkerer Systeme durch jeweilige Zusatzanforderungen an die Zugänglichkeitsrelation R ausgezeichnet. Im Falle des „Truth“-Kalküls T besteht diese Forderung in der Reflexivität von R:
Def. 3) (Fortsetzung von Def. 1)
a) Ein T-Modell ist ein Kripke-Modell, bei dem die Zugänglichkeitsrelation R als reflexiv vorausgesetzt wird, d.h. es gilt für jedes wÎW: wRw.
b) Ein D-Modell ist ein Kripke-Modell, bei dem die Zugänglichkeitsrelation R als „seriell“ vorausgesetzt wird, d.h. für jedes wÎW existiert mindestens ein w¢ÎW mit wRw¢.
Diese Definition wird im weiteren Verlauf bei der Einführung anderer Kalküle entsprechend fortgesetzt. Die obige Behauptung, dass D „stärker“ ist als K aber „schwächer“ als T wäre nun semantisch wie folgt zu beweisen:
MT1 i) Das Theorem T12 ist nicht K-gültig;
ii) Das Axiom N2 ist nicht D-gültig.
Der Beweis dieses „Metatheorems“ (als solche bezeichne ich die Behauptung, weil sie selber nicht ein „Theorem“ innerhalb eines Kalküls, sondern eine Aussage über die Beweisbarkeit bzw. Gültigkeit von Theoremen bzw. Axiomen in gewissen Kalkülen darstellt) kann z.B. so erfolgen:
Ad i) Gemäß Def. 2 ist ein Kripke-Modell <W,R,V> anzugeben, in dem T12, d.h. Np É Mp, nicht allgemeingültig ist; d.h. innerhalb von <W,R,V> muss es eine Welt w geben mit V(w, Np É Mp) = f. Ein solches Modell konstruiert man wie folgt. Es sei W (¹Æ) beliebig, aber R sei die leere Relation über W, d.h. für alle w, w¢ ist wRw¢ stets eine falsche Aussage! Aus rein prädikatenlogischen Prinzipien folgt hieraus, dass jede konditionale Aussage der Form
(#) LwLw¢(wRw¢ É a)
automatisch wahr wird, insbesondere z.B. die Aussagen:
(#1) LwLw¢(wRw¢ É V(w¢,p) = t), sowie
(#2) LwLw¢(wRw¢ É V(w¢,p) = f).
Deshalb gilt nun aber gerade (für beliebiges w): V(w, Np É Mp) = f; denn gemäß Teil c4) von Def. 1 ist dies genau dann der Fall, wenn V(w, Np) = w aber V(w, Mp) = f, ersteres ist gemäß Bedingung c6) genau dann erfüllt, wenn für alle w¢ mit wRw¢ gilt: V(w¢,p) = t; letzteres entsprechend gemäß Bedingung c7) genau dann, wenn nicht für mindestens ein w¢ mit wRw¢ gilt: V(w¢,p) = t, d.h. wenn für alle w¢ mit wRw¢ gilt V(w¢,p) = f. Diese beiden Bedingungen sind aber wegen (#1) bzw. (#2) in unserem Modell mit der „leeren“ Zugänglichkeitsrelation gerade erfüllt!
Ad ii) Es ist hier ein D-Modell, d.h. ein Kripke-Modell mit „serieller“ Zugänglichkeitsrelation anzugeben, in dem das Wahrheitsaxiom N2 nicht allgemeingültig ist, also in mindestens einer Welt w den Wert falsch erhält. Ein solches einfaches Modell konstruiert man z.B. wie folgt: W={w,w¢}; R={<w,w¢>,<w¢,w>}; V(w,p) = f; V(w¢,p) = t. Die Relation R ist offensichtlich „seriell“, d.h. von jeder Welt ist mindestens eine Welt zugänglich. Ferner gilt nun (*) V(w,Np) = t, denn dies bedeutet nach Bed. c6) von Def. 1, dass für alle w* mit wRw* V(w¢,p) = t. Die einzige Welt w*, die von w aus zugänglich ist, ist aber gerade w¢, und hier gilt nach Konstruktion V(w¢,p)=w, so dass (*) folgt. Da gemäß Voraussetzung jedoch V(w,p) = f ist, erhält man schließlich V(w,Np É p) = f.
Nachstehend ein paar weitere Theoreme von T (die nicht schon Theoreme von K sind):
T14 NMp É Mp
T15 Mp É MMp
T16 Np É MNp.
Der Beweis sei dem Leser als Übung anheim gestellt.
1.5 Der Kalkül S4
Als nächstes System betrachten wir den Kalkül S4, der aus T durch Hinzunahme des weiteren Axioms
N3 Np É NNp
Per Substitution
(Np anstelle von p) folgt a fortiori:
T18 NNNp º NNp,
also (aussagenlogisch aus T18 und T17):
T19 NNNp º Np.
Auch die „dreifache“ Notwendigkeit ist also mit der „einfachen“ Notwendigkeit beweisbar äquivalent (usw. für NNNNp, NNNNNp, ...). Analoge Gesetze ergeben sich für den Möglichkeitsoperator:
T21 MMMp º Mp
...
Diese Prinzipien folgen unmittelbar aus dem Theorem
T22 MMp
É Mp,
das man in S4 syntaktisch wie folgt beweist:
1. NØp É NNØp (N3)
2. NØp É ØØNØp (Tautologie)
3. NNØp É NØØNØp (RI(2))
4. NØp É NØØNØp (a.l. 1,3)
5. ØNØØNØp É ØNØp (a.l. aus 4)
6. MMp É Mp (aus 5 mit Def. von M)
Die Reduktionsprinzipien T17 – T22, mit denen man komplexe „Modalitäten“ der Form Nip bzw. Mjp (für beliebige natürliche Zahlen i, j) zu Np bzw. Mp vereinfachen kann, gelten nicht schon im schwächeren System T, d.h. genauer lässt sich zeigen:
(a) Für keine natürliche Zahl i ist das S4-Theorem Nip É Ni+1p, d.h. die Formel N...Np É N(N...Np) auch T-gültig;
(b) Für keine natürliche Zahl j ist das S4-Theorem Mj+1p É Mjp, d.h. die Formel M(M...Mp) É M...Mp auch T-gültig.
Hieraus ergibt sich übrigens trivialerweise, dass S4 eine echte Erweiterung von T darstellt.
Der Nachweis von MT2 erfolgt semantisch durch geeignete Gegenbeispiele; der Einfachheit halber wird hier nur der Spezialfall i=3 durchexerziert. Es ist also ein T-Modell <W,R,V> zu konstruieren, das die Implikation N3p É N4p, d.h. NNNp É NNNNp als nicht allgemeingültig erweist. Dazu setze man W={w0,w1,w2,w3,w4}; die Zugänglichkeitsrelation R umfasse genau die folgenden Elemente: {<w0,w0>, <w0,w1>, <w1,w1>, <w1,w2>, <w2,w2>, <w2,w3>, <w3,w3>, <w3,w4>, <w4,w4>}. R ist also insbesondere reflexiv, und deshalb <W,R,V> ein T-Modell. Schließlich ordne die Interpretationsfunktion V der Satzkonstanten p in den jeweiligen Welten wi folgende Werte zu: V(w0,p) = V(w1,p) = V(w2,p) = V(w3,p) = t aber V(w4,p) = f. Dann gilt
(*) V(w0,NNNp) = t, aber
(**) V(w0,NNNNp) = f.
Denn es ist V(w0,NNNNp) = f gdw. es eine von w0 aus zugängliche Welt w gibt, so dass V(w,NNNp=) f. Nun ist aber V(w1,NNNp) = f weil es eine von w1 aus zugängliche Welt w2 gibt mit V(w2,NNp) = f; letzteres gilt, weil es eine von w2 aus zugängliche Welt, nämlich w3, gibt mit V(w3,Np) = f, und letzteres ist der Fall, weil es eine von w3 zugängliche Welt, nämlich w4, gibt mit V(w4,p) = f – letzteres gilt gemäß Festlegung von V! Damit ist (**) nachgewiesen.
Bezüglich (*) bleibt zu zeigen, dass für jede von w0 aus zugängliche Welt, also nach „Konstruktion“ von R sowohl für w0 als auch für w1, gilt: V(w0,NNp) = t und V(w1,NNp) = t. Dies gilt genau dann, wenn in allen von w0 bzw. von w1 aus zugänglichen Welten, d.h. in w0, w1 und w2 gilt: V(w0,Np) = V(w1,Np) = V(w2,Np) = t; und dies wiederum bedeutet, dass in allen von w0, w1 und w2 aus zugänglichen Welten, also in w0, w1, w2 und w3, p bei der Interpretation V stets den Wert t erhält – letzteres wird jedoch gerade durch die obige Festlegung von V garantiert.
Die Verallgemeinerung dieses Beweises von MT2 (a) auf den allgemeinen Fall – ebenso wie der analoge Nachweis der Teilbehauptung MT2 (b) – sei dem Leser als Übung überlassen.
Die Semantik für den Kalkül S4 unterscheidet sich von der Semantik für T (bzw. auch K) dadurch, dass die Zugänglichkeitsrelation R nunmehr auch transitiv ist:
Def. 3) (fortgesetzt)
c) Ein S4-Modell ist ein Kripke-Modell, bei dem die Zugänglichkeitsrelation R nicht nur, wie in T, als reflexiv, sondern zudem als transitiv vorausgesetzt wird, d.h. es gilt für alle w1,w2,w3ÎW: w1Rw2 Ù w2Rw3 ® w1Rw3.
Man prüft nun zunächst leicht nach, dass das neu hinzugekommene Axiom N3 S4-gültig ist. Denn gäbe es ein S4-Modell <W,R,V> und eine Welt wÎW mit V(w,Np É NNp) = f, so hieße das einerseits V(w,Np) = w, d.h.
(*) für alle w¢ mit wRw¢ gilt V(w¢,p) = t.
Andererseits müsste V(w,NNp) = f sein, d.h. es gäbe ein w1 mit wRw1 und V(w1,Np) = f; und das impliziert wiederum die Existenz einer Welt w2 mit w1Rw2 und V(w2,p) = f. Aufgrund der vorausgesetzten Transitivität von R (in allen S4-Modellen) ist aber mit wRw1 und w1Rw2 auch wRw2, d.h. man erhielte insgesamt die Existenz einer Welt w2 mit
(**) wRw2 und V(w2,p) = f
im Widerspruch zu (*). Damit ist N3 als S4-gültig nachgewiesen.
Ein besonderes Merkmal des Kalküls S4 besteht darin, dass in ihm nur noch endlich viele verschiedene Modalitäten vorkommen, wobei zunächst definiert ist:
Def. 4:
(a) Eine Modalität (im Englischen: modality) ist eine (endliche) Folge von einstelligen Operatoren der Sprache der Modallogik, d.h. eine Folge von ‚N’ und ‚M’ sowie gegebenenfalls zusätzlich von Negationsoperatoren ‚Ø’;
(b) Eine Modalität m heißt affirmativ genau dann, wenn sie kein Negationszeichen bzw. eine gerade Anzahl von Negationszeichen enthält; hingegen ist m negativ, wenn m eine ungerade Anzahl (1, 3, 5, ...) von Negationszeichen enthält.
(c) Zwei Modalitäten m1 und m2 heißen gleichwertig (im Kalkül X), wenn (in X) die Äquivalenz m1(p) º m2(p) beweisbar ist. Andernfalls heißen sie (in X) verschieden.
Aus Gründen der graphischen Darstellung wurden die beiden zusätzlichen Beziehungen
Np
¯
p
¯
Mp
nicht mit in das obige Diagramm eingebunden.
Der Nachweis von MT3 besteht in drei Teilaufgaben: (I) ist zu zeigen, dass die im Diagramm gezeigten logischen Beziehungen zwischen den Modalitäten im Kalkül S4 beweisbar sind. (II) ist zu zeigen, dass keiner der Pfeile (bzw. der durch die Pfeile symbolisierten strikten Implikationen) im Rahmen von S4 umkehrbar ist. (III) bleibt nachzuweisen, dass es in S4 über die im Diagramm aufgelisteten Modalitäten hinaus keine weiteren, irreduziblen affirmativen Modalitäten gibt, d.h. jede andere Modalität m ist im Kalkül S4 mit einer der Modalitäten N, NMN, NM, MN, MNM und M beweisbar äquivalent.
Ad (I): Aus Platzgründen werden die jeweiligen Beweise nur in abgekürzter Form skizziert. (a) 1. Np É NNp (N3)
2. Np É MNp (T11)
3. NNp É NMNp (RI(2))
4. Np É NMNp (a.l. aus 1,3)
(b) 1. Np É p (N2)
2. MNp
É Mp (RM(1))
3. NMNp É NMp (RI(2))
(c) 1. NMNp É MNp (N2)
(d) 1. NMp É MNMp (T11)
(e) 1. p É Mp (T11)
2. Np É NMp (RI(1))
3. MNp É MNMp (RM(2)
(f) 1. NMp É Mp (N2)
2. MNMp
É MMp (RM(1))
3. MMp
É Mp (T22)
4. MNMp É Mp (a.l. 2,3).
Ad II: Hier wäre der Reihe nach zu zeigen, dass keine der Implikationen
(a) Mp
É MNMp
(b) MNMp
É MNp
(g) MNMp É NMp
(d) MNp É NMNp
(e) NMp É NMNp
(x) NMNp É Np
außerdem weder
(h) MNp É NMp
noch
(q) NMp É MNp
und schließlich auch weder
(i) p É Np
noch
(k) Mp É p
in S4 beweisbar ist. Nun sind Nachweise der (syntaktischen) Unbeweisbarkeit in einem Kalkül X grundsätzlich nur in der Form möglich, dass man zum einen die Widerspruchsfreiheit des jeweiligen Kalküls X beweist, d.h. im Falle von S4 genauer zeigt:
MT4 Alle in S4 beweisbaren Sätze sind S4-gültig.
Anschließend bleibt im Einzelfall durch Angabe eines passenden X-Modells zu zeigen, dass die fragliche Formel nicht X-gültig ist. Aus Platzgründen beschränke ich mich auf den Nachweis von (h), d.h. ich konstruiere ein S4-Modell <W,R,V> mit einer Welt wÎW so dass V(w,MNp É NMp) = f. Dazu setze man W={w1, w2, w3}, R={<w1,w1>, <w2,w2>, <w3,w3>, <w1,w2>, <w1,w3>}; schließlich sei V(w1,p)= t, V(w2,p) = f und V(w3,p) = t. Per Konstruktion ist R reflexiv und transitiv, also ein S4-Modell. Wegen V(w3,p) = t (und weil w3 die einzige Welt ist, die von sich selber aus zugänglich ist) folgt dann V(w3,Np)= t, und hieraus wegen w1Rw3 weiterhin V(w1,MNp) = t. Andererseits ist jedoch V(w1,NMp) = f, denn es gibt eine von w1 aus zugängliche Welt, nämlich w2, mit V(w2,Mp) = f; letzteres ist deshalb der Fall, weil in allen von w2 aus zugänglichen Welten, d.h. nämlich genau in der Welt w2, p selber den Wert f besitzt.
Die Konstruktion entsprechender Gegenbeispiele zur Widerlegung der Implikationen (a), (b), (g), (d), (e), (x), (i) und (k) sei dem Leser überlassen.
Ad (III) Abschließend bleibt noch zu zeigen, dass jede weitere affirmative Modalität m im Rahmen von S4 auf eine der sechs im obigen Diagramm enthaltenen Modalitäten reduziert werden kann. Dazu beachte man zunächst die Gültigkeit der folgenden Reduktionsprinzipien:
T23 MNMNp É MNp,
T24 MNp É MNMNp,
T25 NMNMp É NMp,
T26 NMp É NMNMp.
Der Beweis dieser Sätze erfolgt so: Gemäß Teil I, f) von MT 3 ist MNMp É Mp in S4 beweisbar, per Substitution (Np für p) also auch MNMNp É MNp, d.h. T23; weiterhin gewinnt man aus MNMp É Mp gemäß der Regel RI NMNMp É NMp, d.h. T25. Ferner erhält man T24, d.h. MNp É MNMNp, mittels der abgeleiteten Regel RM aus dem S4-Theorem Np É NMNp ; und schließlich folgt T26 ebenfalls aus Np É NMNp per Substitution von Mp für p.
Dass es nun in S4 keine irreduziblen (affirmativen) Modalitäten von einer Länge ³ 4 gibt, sieht man wie folgt ein: Rein syntaktisch erzeugt man aus den Modalitäten der Länge 3, d.h. aus NMN und MNM, zunächst solche der Länge 4 durch „Anhängen“ eines weiteren Modaloperator rechts oder links. Dies er gibt die folgenden acht Ausdrücke (wobei der Anschaulichkeit halber die zugefügten Modaloperatoren unterstrichen werden):
NNMN, MNMN, NMNN, NMNM, NMNM, MMNM, MNMN, MNMM.
Der erste Ausdruck reduziert sich wegen des Gesetzes T17 auf NMN; der zweite bzw. siebte lässt sich wegen T23+24 auf NM zurückführen; die dritte Äquivalenz, NMNNp º NMNp folgt aus T17 mit Anwendung der Regeln RI und RM; der vierte bzw. fünfte Ausdruck ist wegen T25+26 mit NM äquivalent; der sechste ist wegen T20 mit MNM äquivalent; die achte Äquivalenz MNMMp º MNMp schließlich folgt aus T20 mit RI und RM. Damit ist insgesamt MT3 bewiesen.
1.6 Der Kalkül S5
Zum Abschluss betrachten wir nun noch den „stärkstmöglichen“ Kalkül S5, der aus S4 durch Hinzunahme des weiteren, charakteristischen Axioms
N4 Mp É NMp.
hervorgeht. Die semantische Gültigkeit dieses Axioms wird durch die Zusatzbedingung der Symmetrie der Zugänglichkeitsrelation R sichergestellt, d.h. man definiert:
Def. 3) (fortgesetzt)
d) Ein S5-Modell ist ein Kripke-Modell, bei dem die Zugänglichkeitsrelation R nicht nur, wie in S4, als reflexiv und transitiv, sondern zusätzlich als symmetrisch vorausgesetzt wird, d.h. es gilt für alle w1,w2ÎW: w1Rw2 ® w2Rw1.
Die S5-Zugänglichkeitsrelation ist somit eine Äquivalenzrelation. Die Gültigkeit von N4 in allen S5-Modellen zeigt man so: Gäbe es ein S5-Modell <W,R,V> und eine Welt wÎW mit V(w,Mp É NMp) = f, so wäre zum einen V(w,Mp) = t, d.h. es gäbe ein w1 mit wRw1 und (i) V(w1,p) = t; andererseits müsste V(w,NMp) = f sein, d.h. es gäbe eine Welt w2 mit wRw2 und V(w2,Mp) = f, was wiederum bedeuten würde, dass für alle w* mit w2Rw* gelten würde (ii): V(w*,p) = f. Aus wRw1 folgt aber per Symmetrie von R w1Rw, also mit wRw2 per Transitivität w1Rw2, und hieraus wiederum per Symmetrie w2Rw1. Deshalb lässt sich aus (ii) ableiten V(w1,p) = f im Widerspruch zu (i).
Andererseits kann der Leser sich leicht davon überzeugen, dass das Axiom N4 nicht S4-gültig ist. S5 ist also eine echte Erweiterung von S4. Im übrigen könnte man den Kalkül S5 axiomatisch auch so gewinnen, dass man das charakteristische Axiom N4 direkt zu T hinzufügt, denn es gilt:
MT4: In T + N4 ist das Prinzip N3 beweisbar.
Beweis:
1. MØp É NMØp N4 (Øp/p)
2. ØNMØp É ØMØp a.l.(1)
3. MNp É Np aus 2 mit Def. von M
4. NMNp É NNp RN(3)
5. MNMØp É NMØp aus 3 per Subst. (MØp/p)
6. NMØp É MØp N2(MØp/p)
7. MNMØp É MØp a.l.(5,6)
8. ØMØp É ØMNMØp a.l.(7)
9. Np É NMNp aus 8 mit Def. von M
10. Np É NNp a.l.(9,4).
Einige weitere interessante Theoreme von S5 lauten:
Beweise seien dem Leser als Übung überlassen. Bei T29 (bzw. dem damit gleichwertigen T30) handelt es sich um das sog. Brouwersche Axiom bzw. Gesetz, das nicht S4-gültig ist und das man als alternatives charakteristisches Axiom für S5 wählen könnte.
Zusammen mit den früheren Theoremen, speziell T17 und T20, die als Theoreme von S4 natürlich auch in S5 gelten, bleiben gemäß T27 und T 28 jedenfalls nur die folgenden affirmativen Modalitäten von S5 übrig:
Np
¯
p
¯
Mp